虚空へ呟くその5。　 - 月が私を狙ってる！

　自分用メモ。読む人がいるならびっくりするし、それで間違いを訂正してくれる人間で出てきたら俺は嬉尿を漏らします。
　くりこみって要は出てくる物理量を有限にしたいだけで、つまり発散項さえ落とせればいいわけです。なので、その相殺項とか入れてくりこみってのやるわけですけど、その時に結構conventionを勝手にがつんと決めてざくっと発散項を落としてしまえばいいわけです。するとなんていうの、同じ理論をくりこむにもいっぱい色んな方法でくりこむやり方みたいなのがあって、それらがまあ、どのくらいのエネルギーでくりこむかによっても変わりまして、しかもこれを色々変えていった時にあんまりわかりやすい形でそのconventionみたいのが動かなくてですな、その時々のエネルギー毎に改めて条件を課してくりこむ、みたいな感じになるわけですよ。まあそれでも一応微分可能な形で動くわけで、そうなるとなんだ、一応そのエネルギーの間を狭くしていけば微分方程式が立つんだな。つか、それらの間の連続変換がこれまた1つのくりこみになってるからくりこみ群とか言ったりすんだけど。
　あー、で、言い忘れてたけど、なんかそういうくりこみとか考えてると、量子補正っつって、結合定数とかが定数じゃなくてエネルギーを引数として食うようなのになるんだ。まあそんなワッショイワッショイハイテンションに動くわけじゃないけど、それでも、各定数の間に古典の方で成り立ってた対称性みたいのが量子の方で壊れてたら気持ち悪いじゃん？だからそれがどうなってるかとかを見るのもわりと面白いわけだ。で、その定数の動き方？みたいのが、最初に言ったその微分方程式、くりこみ群方程式略してRGEってんですけど、これを解くとわかるのですよ。じゃあそれを見てみましょうということですね。がんばれ！

　くりこみ点μってのがあります。なんだ、くりこみ条件を与える時の質量パラメータmの値、みたいな。理論自体はくりこみの仕方、つまりくりこみ条件に依存しては困りますから、端的に言って、これで系の有効作用を微分して各パラメータをbareのを突っ込んでやりゃ右辺は0ですよ。正確にはμ^2で微分するのか。まあそれで何が有効作用の変数かみたいなのがまためんどくさいわけですけど、今回何がめんどくさいって物質場が質量持ってるのがめんどくさくて質量に依らないくりこみとかやるんでまあどうでもいいや。実際こんな感じ。texだぜこら。
$( \mu \frac{\partial }{\partial \mu} + \beta (g) \frac{\partial }{\partial g} + ({\rm partial diff. of fields and m}) )\Gamma({\rm fields} ,m,g; \mu)$
但 $\beta(g) = (\mu \frac{\partial }{\partial \mu} ) g$ かな。
まあ、この形の方程式の解の一般形ってのが流体からのアナロジーで知られてて、その時に課す境界条件として $\frac{dg(t)}{dt} = \beta(g)$ やらなんやらあって、要はこのβって関数が結合定数gの動き方、まあ最初に言った今みたいものだよね、これを示してくれるってんで、これを計算するがいいさ。やだよ。
　ラグランジアン。 $L= -\frac{1}{2} M^{jk} \psi_j \psi_k -\frac{1}{2} M^{*}_{jk} \psi^{\dagger j} \psi^{\dagger k} -\frac{1}{2} y^{jkn} \phi_j \psi_k \psi_n -\frac{1}{2} y^{*}_{jkn} \phi^{* j} \psi^{\dagger k} \psi^{\dagger n} - \frac{1}{4} F^a_{\mu \nu} F^{a \mu \nu} +i \lambda^{\dagger a} \bar{\sigma}^{\mu} D_{\mu} \lambda^a +\frac{1}{2} D^a D^a + (D^{\mu} \phi^{* j})(D_{\mu} \phi_j) + i \psi^{\dagger j} \bar{\sigma}^{\mu} D_{\mu} \psi_j + F^{* j} F_j -\sqrt{2} g (\phi^* T^a \psi \lambda^a + \lambda^{\dagger a} \psi^{\dagger} T^a \psi) +g(\psi^{*} T^a \psi) D^a$
で、gが絡むところの場のくりこみ係数が何乗で効いてるか見て、絡むところ使った頂点含む1-loopの2点関数のグラフ描いてくりこみ係数を計算するよ、と。A_μの中にgを一旦格納して共変微分からgを消すとだいぶ見やすいんですかね……？まあ頑張って。