今日はTeXを打ちたい日だから。その2

お勉強

著作権とかないよね？

行列式と逆行列

  • \frac{\partial}{\partial A_{ij}} \det{A} = \tilde~A_{ij}
  • \frac{\tilde~A_{ij}}{\det{A}} = A^{-1}_{ij}
  • \frac{\partial (A^{-1})}{\partial A_{ij}} = -A^{-1} \frac{\partial A}{\partial A_{ij}} A^{-1}

直交曲線座標系

  • h_j =\sqrt{\sum_l (\frac{\partial x_l}{\partial q_j})^2}として
  • \nabla f = \frac{\partial f}{h_i \partial q_i} \vec{e_i}
  • \nabla \cdot \vec{A} = \frac{1}{\prod h_i} (\frac{\partial}{\partial q_1} (h_2 h_3 A_1) + \frac{\partial}{\partial q_2} (h_3 h_1 A_2) + \dots)
  • \nabla \times \vec{A} = \frac{\epsilon_{ijk}}{h_j h_k} \partial_j (h_k A_k) \vec{e_i}
  • \Delta f = \frac{1}{\prod h_i} (\partial_q (\frac{h_2 h_3}{h_1} \frac{\partial f}{\partial q_1}) +cyclic)

ギャンマ関数

  • \Gamma(x) \Gamma(1-x) = \frac{\pi}{\sin \pi x}
  • \Gamma(2x) = \frac{\Gamma(x) \Gamma(1+x)}{\sqrt{\pi} 2^{1-2x}}
  • B(x,y) = \frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} = 2 \int^{\pi/2}_0 \sin ^{2x-1} \theta \cos^{2y+1} \theta {\rm d} \theta = \int^1_0 t^{x-1} (1-t)^{y-1} {\rm d} t

Cauchy–Riemann

  • \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x}

回転数ってなに

  • \int_C \frac{f(z) {\rm d} z}{(z-z_0)^{n+1}} = \frac{2 \pi i}{n !} f^{(n)}(z_0)

竜頭ってなに

  • [tex: Res(f,a) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z \rightarrow a} \frac{{\rm d}^{m-1}}{{\rm d} z^{m-1}} *1]

三角関数積分したい

  • \int^{\infty}_0 {\rm e}^{ix} {\rm d}x - \int^{\infty}_0 {\rm e}^{-ix} {\rm d}x = \int^{\infty}_{- \infty} {\rm e}^{ix} {\rm d}xとかとりっきー。どこに穴があるかによるかな

とおいところとかよくわかんない

  • zf(z) \rightarrow 0 となるようならその経路の積分無視できる。遠方だけじゃなくてたまにz→0とかでもいけたりする

大きな分かれ道が二つとも死に繋がっていたし！

  • a-1がint.でなければ z^{a-1} = {\rm e}^{(a-1) \ln z}はz=0のとこで分岐有。 {\rm arg} (z) = 2 \pi やらで {\rm e}^{(a-1) (\ln z + 2 \pi i)}

ちょうきか

  • x(1-x)y \prime \prime + (c-(1+a+b)x) y \prime - aby =0は
  • x=0のところで y=F(a,b;c;x),y=x^{1-c}F(a+1-c,b+1-c;2-c;x)
  • x=1のところで y=F(a,b;a+b-c+1;1-x),y=(1-x)^{c-a-b}F(c-a,c-b;c-a-b+1;1-x)
  • 但 F(a,b;c;z)=1+\frac{a \cdot b}{1! \cdot c} z + \frac{a(a+1) \cdot b(b+1)}{2! c(c+1)} z^2 + \dots

るじゃんどる

  • (1-x^2)y \prime \prime -2xy \prime + n(n-1)y=0のx=0での有限解は P_n(x)
  • P_n(x) = \frac{(-)^n}{2^n n!} (\frac{{\rm d}}{{\rm d}x})^n (1-x^2)^n
  • (1-2xz +z^2)^{-1/2} = \sum P_n(x) z^n
  • P_n(\cos \theta) = \frac{(-)^n r^{n+1}}{n!} \frac{\partial ^n}{\partial z^n}(\frac{1}{r})

へるみいと

  • y \prime \prime -2xy \prime +2ny=0は y \propto H_n(x)
  • H_n(x) = (-)^n {\rm e}^{x^2} (\frac{{\rm d}}{{\rm d}x})^n {\rm e}^{-x^2}

はんけるやらのいまんやら。

  • x^2 y \prime \prime +xy \prime +(x^2-\nu ^2)y = 0は
  • if νis int., y_1 = J_{\nu}(x) = \sum_r \frac{(-)^r}{r! \Gamma(\nu +r+1)} ( \frac{x}{2})^{\nu + 2r}
  • y_2 = N_{\nu} (x) = \frac{J_{\nu} \cos \pi \nu - J_{- \nu}}{\sin \pi \nu}
  • 組み替えて H_{\nu}^{(1)}=J_{\nu}+i N_{\nu} , H_{\nu}^{(2)}=J_{\nu}-i N_{\nu}もよし
  • if not νint., J_νとJ_-νは独立なのでそれ使う。
  • \int^{\infty}_0 x^{- \lambda} {\rm e}^{-ax} J_{\nu} (bx) = ( \frac{b}{2a} )^{\nu} \frac{a^{\lambda -1} \Gamma(\nu - \lambda +1)}{\Gamma(\nu +1)} F(\frac{\nu - \lambda +1}{2},\frac{\nu - \lambda +2}{2}, \nu +1; - \frac{b^2}{a^2})
  • y=x^{\alpha} J_{\nu}(bx^c)とおくと y \prime \prime + \frac{1-2a}{x} y \prime + (b^2c^2 x^{2c-2} + \frac{a^2-\nu^2 c^2}{x^2}) y =0

なんとか円積分

  • \int^{\pi/2}_0 \frac{{\rm d} \phi}{\sqrt{1-k^2 \sin^2 \theta}} = \frac{\pi}{2} F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)
  • \int^{\pi/2}_0 \sqrt{1-k^2 \sin^2 \theta} {\rm d} \phi} = \frac{\pi}{2} F(\frac{-1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)

ξ

  • \int^{\infty}_0 \frac{x^s {\rm d}x}{{\rm e}^x -1} = s! \xi (s+1)

この辺りから自分のメモの真偽が相当怪しい

  • Pu_x + Q u_y =Rの時 \frac{{\rm d} x}{P} = \frac{{\rm d}y}{Q}の解をφ_1, \frac{{\rm d}y}{Q} = \frac{{\rm d}u}{R}の解をφ_2とするとなんか関数 G(\phi_1, \phi_2)あたりがラッキーアイテム

indexは微分ね

  • f(x,y,u,u_x,u_y) = 0 \Rightarrow \frac{{\rm d}x}{f_{u_x}} = \frac{{\rm d}y}{f_{u_y}} = \frac{{\rm d}u}{u_x f_{u_x} + u_y f_{u_y}} = \frac{{- \rm d}u_x}{f_u u_x + f_x} = \frac{{- \rm d}u_y}{f_u u_y + f_y}

メモのとおりに書く。何故ならTeXが打ちたいだけだから。

  • Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy} = f(x,y,u,u_x,u_y) \Rightarrow A{\rm d}y^2 -2B {\rm d}x {\rm d}y +C {\rm d}x^2 =0の解のconst.をξ,ηとして変数変換する

おのれ球面調和関数

  • L_x \pm i L_y = {\rm e}^{\pm i \phi} (\pm \frac{\partial}{\partial \theta} + i \cot \theta \frac{\partial}{\partial \phi})と L_z = -i \frac{\partial}{\partial \theta}に対して
  • Y_{n,m}(\theta, \phi) = (-)^m \sqrt{\frac{(2n+1)(n-m)!}{4 \pi (n+m)! }} P_n^m(\cos \theta) {\rm e}^{im \phi}は
  • (L_x \pm i L_y) Y_{n,m} = \sqrt{(n \mp m)(n \pm m +1)} Y_{n, m \pm 1}
  • L_z Y_{n,m} = m Y_{n,m}を満たす

ラプラス方程式の解。えれまぐで使うぜ

  • \Delta u =0 \Rightarrow u = \sum_n \sum_m (a_{n,m}r^n+b_{n,m}r^{-n-1}) Y_{n,m}

解析接続

  • 両方が正則などっかで一致することを示せばよし、らしい

Fourieの級数のほう。関数の偶奇で計算半減。むしろ原点をずらして積極的に攻めの姿勢を。

  • \frac{a_0}{2} + \sum (a_m \cos mx + b_m \sin mx)で各係数は
  • a_m=\frac{1}{\pi} \int^{\pi}_{- \pi} f(x) \cos mx {\rm d}x
  • b_m=\frac{1}{\pi} \int^{\pi}_{- \pi} f(x) \sin mx {\rm d}x

積分因子えむ！：これをかけると全微分になるぜ

  • P {\rm d}x + Q {\rm d}y =0で、
  • \frac{P_y - Q_x}{Q} = \phi(x)なら M=\exp ( {\int \phi(x) {\rm d} x} )
  • \frac{P_y - Q_x}{P} = \phi(y)なら M=\exp ( {- \int \phi(y) {\rm d} y} )
  • 同次形なら M = \frac{1}{xP+yQ}

今日friendfeedの垢を取りました。

  • y \prime + P(x) y = Q(x) y^nはy^nで割ってv=y^1-nに変数変換

演算子法ってすごくロマンチック。

  • (D-1)(D-2)y = x^2+2xの特解
  • y = \frac{1}{(D-1)(D-2)} (x^2+2x) = ( \frac{1}{1-D} - \frac{1}{2-D} ) (x^2+2x) = [ (1+D+D^2+ \dots) -\frac{1}{2} (1+\frac{D}{2} + \frac{D^2}{4} + \dots ) ] (x^2+2x) = ( \frac{1}{2} + \frac{3}{4} D \frac{7}{8} D^2 + \dots ) (x^2+2x) = \frac{x^2}{2} + \frac{5}{2} x + \frac{13}{4}

更にロマンチック演算子法

変数変換ラッキーチャンス！

変変変換ラッキーチャンス！

*1:z-a)^m f(z