月が私を狙ってる！

今日はTeXを打ちたい日だから。その3

お勉強

ちょっとあきてきた。たまに意味わかんないメモとかあるし。

平面静電荷

xy平面に面積辺りσ： $\vec{E} = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0} \sgn(z) \hat{z}$

導体：鏡映電荷で導体上の電場を0にしましょう

境界条件

$( \vec{D_2} - \vec{D_1} ) \cdot \vec{n} = \sigma_s$ 　ポテンシャルの条件と等価だったりすることもあるね
$( \vec{E_2} - \vec{E_1} ) \times \vec{n} = 0$
$( \vec{B_2} - \vec{B_1} ) \cdot \vec{n} = 0$
$( \vec{H_2} - \vec{H_1} ) \times \vec{n} = \vec{j_s}$

誘電体入りコンデンサ

面積A、極板間距離d、誘電体の厚さtで $C = \frac{A}{\frac{d-t}{\epsilon_0} + \frac{t}{\epsilon}}$

美しく書かれたκはχと見分けが付かない

分極モーメント $\vec{P} = \chi \vec{E}$ まあ、対角の場合はね。但 $\chi = \epsilon - \epsilon_0$

これさあ、表面って言うけど誘電体の内側なのなー。

分極表面電荷密度： $\vec{P} \cdot \vec{n}$
分極体積電荷密度： $- \nabla \cdot \vec{P}$

ビオ・サヴァール

$\vec{B}(\vec{r}) = \frac{\mu _0}{4 \pi} \int \vec{J}(\vec{r \prime}) \times \frac{\hat{R}}{R^2} {\rm d} V \prime$
ソレノイドは特に $\vec{B} = \mu_0 n I \hat{z}$

なつかしい

$\vec{F} = \vec{I} \times \vec{B} l$

平面電流

$\vec{B} = \frac{\mu_0}{2} \vec{j} \times \vec{n}$

起電力

$V = \int (\vec{v} \times \vec{B} ) \cdot {\rm d} \vec{r}$

電荷が行きそうなところを見つけてそこを経路に電流が流れていることにする

相互インダクタンス、共依存。

$U= \frac{1}{2} L_1 I_1^2 + \frac{1}{2} L_2 I_2^2 + M I_1 I_2$
磁束をΦとすると $L = \frac{\Phi}{I}$ 、あとコイル1で作ってコイル2に入る磁束を用いて $M = \frac{\Phi^1_2}{I_1}$
さらに互いにかかる力は $\vec{F} = I_1 I_2 \nabla M$

キルヒホッなんとか

$0 = L_1 \frac{{\rm d}I_1}{{\rm d}t} - M \frac{{\rm d}I_2}{{\rm d}t} + R I_2$ とか

ソレノイドで

$\varDelta \Phi = R \varDelta q$

ヘルムホルツコイルとやら

$B=\frac{\mu_0 NI}{a} (\frac{4}{5})^{\frac{3}{2}}$

磁気能率

$\vec{m} = \frac{1}{2} \int (\vec{r} \times \vec{j} ) {\rm d} S$
特にコイルは $\vec{m} = I \pi r^2 \hat{n}$

相互作用。テンソル力、なにそれ?

$U(\vec{r}) = \frac{\mu _0}{4 \pi} \frac{3(\vec{m_1} \cdot \vec{r})(\vec{m_2} \cdot \vec{r})-r^2 \vec{m_1} \vec{m_2} }{r^5}$
円電流はいったんこれ通すと楽

磁化

等価電流密度 $\vec{j} = \vec{M} \times \vec{n}$
内部で $\vec{J} = \nabla \times \vec{M}$ で置き換える
$\vec{H} = \frac{\vec{B}}{\mu_0} - \vec{M}$

平面波なら

$\vec{B} = \frac{1}{\omega} \vec{k} \times \vec{E}$

物質中EoM

$-e \vec{E} = \frac{\partial}{\partial t} m \vec{v}$
$\vec{J} = -n_{\nu} e \vec{v}$

Maxwell応力テンソル

$T_{ij} = \epsilon_0 E_i E_j + \frac{B_i B_j}{\mu_0} - \frac{\delta_{ij}}{2} (\epsilon_0 E^2 + \frac{B^2}{\mu_0})$
$F_i = \oint T_{ij} {\rm d} S_j$

屈折しているのはお前の心だ

$n^2 = \frac{k^2 c^2}{\omega^2}$

入射電場の方向で平行と垂直。電磁気4で覚えた気がする

$R_o = (\frac{n_1 \cos \theta - n_2 \cos \theta_T}{n_1 \cos \theta + n_2 \cos \theta_T})^2$
$R_p = (\frac{n_1 \cos \theta_T - n_2 \cos \theta}{n_1 \cos \theta_T + n_2 \cos \theta})^2$
$T_o = 1-R_o,T_p = 1-R_p$
更にスネルの法則を連立させたり $n_1 \sin \theta = n_2 \sin \theta_T$

加速電荷

$\varDelta U = \frac{\q^2}{4 \pi \epsilon_0} (\frac{2a^2}{3c^3}) \varDelta t$

先進ポテンシャルは因果律を満たさないので不適という理屈について

$\vec{A}(\vec{r} t) = \frac{\mu _0}{4 \pi} \int \frac{\vec{J}(\vec{r \prime } , t-\frac{|\vec{r}-\vec{r \prime }|}{c})}{|\vec{r}-\vec{r \prime }|} {\rm d} V \prime$
kr>>1, r>>r'で、 $\vec{A}(\vec{r}) \frac{\mu _0}{4 \pi} \frac{{\rm e}^{ikr}}{r} \sum \frac{1}{n!} \int \vec{J}(\vec{r \prime } (-ik \hat{r} \cdot \vec{r \prime})^n {\rm d} V$

シンクロトロン

$P= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{2q^2c}{3R^2} (\frac{1}{1-\beta^2})^2$

なんとかーなんとっかーると

$t_R = t - \frac{R}{c},b = 1-\frac{\hat{R} \cdot \vec{v} }{c}$ として
$\phi = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 R} \frac{1}{b} |_{t_R}$
$\vec{A} = \frac{\mu _0 q \vec{v} }{4 \pi R} \frac{1}{b} |_{t_R}$

電荷の静止系で4元ポテンシャルを計算してLorentz変換