今日はTeXを打ちたい日だから。その1

時折TeXが打ちたくなる病気なのではてなダイアリーを使っています。ボクと同じ病気のあなたもはてなダイアリーにすればいいよね。さて、というわけで手元のチートシートを全部打ってみることに。定義の確認から最低限このくらいあればもしかしたら勝負になるかも、という程度。完全に自分用の表記ですが間違い等々は指摘歓迎で。vectorの太字は脳内補完で。

ハミルトニアンの構成法。

ラグランジアン書く
$p=T \dot{q} + a$ を出す
$H=\frac{1}{2} (p-a)^T T^{-1} (p-a)-L_0$
$\dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q}$
$\dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}$

サイクリック座標の定義。

$L(q_1, \dots ,q_{n-1}, \dot{q_1}, \dots , \dot{q_n} ;t)$ → $P_n$ はconst.

らうしあん、だったかな。怪しい。スペルも忘れた。微小振動だから二次まで残す、とかそんな。

$R=\dot{q} p$ (cyclic) $-L$ 定常なら $\frac{\partial R}{\partial \dot{q}_i} = 0$ 但 $\dot{q}_i$ はnot cyclic
$q_i = q_{0i} + q_{1i}$ (つりあいの位置=一次微係数0とそっからのずれ)として $det(\frac{\partial^2 R}{\partial q_i \partial q_j} - \omega^2 \frac{\partial^2 R}{\partial \dot{q}_i \partial \dot{q}_j}) = 0$ 微係数はつりあいの位置での値、ωが微小運動量の角振動数だそうな。

滑らない=触れる長さが等しい:拘束条件

拘束条件。indexのつけ方あやしい

$f_i {\rm d}x_i =0$ に対して
$\frac{{\rm d} }{{\rm d} t} \frac{\partial }{\partial \dot{x}_i} L - \frac{\partial }{\partial x_i} L = \lambda_i f_i$

散逸関数Fに対して

$F = \frac{1}{2} R \dot{q}_1^2$ など
$\frac{{\rm d} }{{\rm d} t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} - \frac{\partial L}{\partial q_j} + \frac{\partial F}{\partial \dot{q}_j} = 0$

Lがtを陽に含まないとき：Eをconstとして使う

V v.s. r のグラフを書いてE=Eの直線との交点で軌道を決めたり

中心力ポテンシャル

$V_{eff} = V + \frac{L^2}{2mr^2}$

けぷらー

中心力 $f= - \frac{k}{r^2}$ ,mass μ,楕円長軸a で周期は $\tau = 2 \pi \sqrt{\frac{\mu a^3}{k}}$

変数変換

$u=\frac{1}{r}$ としてしまって $\frac{{\rm d}^2 u}{{\rm d} \theta^2} + u = \frac{m}{l^2} \frac{{\rm d}}{{\rm d} u} V(\frac{1}{u})$ となった日には
$\theta = \theta_0 - \int_{u_}^u \frac{{\rm d} u}{\sqrt{\frac{2m}{l^2} (E-V) -u^2}}$ を積分する

双曲線ターム

$r = \frac{a(1-e^2)}{1 + e \cos \theta}$ という軌道で近点離角について $r= a(1-e \cos \psi)$ , $\omega t = \psi - e \sin \psi$
$a=- \frac{k}{2E}$ , $e=\sqrt{1-\frac{l^2}{mka}}$ , $cos \theta = \frac{\cos \psi - e}{1-e \cos \psi}$

オイラー角

z軸周りφ、x'軸周りθ、z'軸周りψ。逆回転は転置
$\dot{\psi}$ :剛体対称軸回転, $\dot{\phi}$ :歳差, $\dot{\theta}$ :章動
$\omega_{x \prime} = \dot{\phi} \sin \theta \sin \psi + \dot{\theta} \cos \psi$
$\omega_{y \prime} = \dot{\phi} \sin \theta \cos \psi - \dot{\theta} \sin \psi$
$\omega_{z \prime} = \dot{\phi} \cos \theta + \dot{\psi}$
空間軸での角速度は $\omega_x = \dot{\theta} \cos \phi + \dot{\psi} \sin \theta \sin \phi$
$\omega_y = \dot{\theta} \sin \phi - \dot{\psi} \sin \theta \cos \phi$
$\omega_z = \dot{\psi} \cos \theta + \dot{\phi}$

慣性モーメントdef

$I_{jk} = \int \rho(r^2 \delta_{jk} - x_j x_k) {\rm d}V$

コリオリでござる

$\vec{v} = \vec{v \prime} + \vec{\omega_0} \times \vec{r \prime}$

振動と基準座標

つりあいの位置からの相対座標 $\vec{\eta}$ を使ってT行列を $T = \dot{\vec{\eta}}^T \bf{T} \dot{\vec{\eta}}$ , V行列を $V = \vec{\eta}^T \bf{V} \vec{\eta}$ として
$det(\bf{V} - \omega^2 \bf{T}) = 0$ となるωが基準振動、そのω_iに対応する固有ヴェクタをa_iとすると $\vec{\eta} = {\rm Re} (c_i a_i {\rm e}^{-i \omega_i t})$ を初期条件入れて規格化する